Jam or fold

Et af de No Limit Hold'em (NLHE) spil man kan løse matematisk eksakt er jam-or-fold hvor small  blind (SB) kan vælge at jamme (rykke all-in) eller folde. Big blind (BB) har så kun mulighed for a kalde allin eller folde.

Nu kan man så spørge sig selv hvor relevant denne variant af NLHE er. Svaret er at spillet er meget relevant i tourneringspoker hvor man ofte er shortstacket (< 20 BB) eller hvor andre ved bordet er shortstacket. For ikke at tabe alle de læsere som er mest interesseret i cash games så vil jeg komme med et par eksempler som er relevante for dem også.

Quiz (desværre uden gevinster)

Spørgsmål 1: Du er på level 3 i en stor turnering; blinds er 100-200 og det er lykkedes dig ved sublimt spil at få din stack spillet ned til 1500 efter at have posted small blind. Der bliver foldet til dig i small blind. Big blind har 15000. Du har samlet monsterhandsken T8o op. Jam or fold?

Spørgsmål 2: Du jammede i spørgsmål 1 og samlede big blind op. Du har foldet de næste mange hænder og er nu i big blind. Din stack er 1600 efter at have posted big blind. Der bliver foldet til small blind som er en rødhåret ung fyr. Dit read er at han er en matematisk nørd. Han sidder og mumler lidt for sig selv inden han pusher allin for 9000. Du kigger på QTs. Call eller fold?

Spørgsmål 3: Samme scenarie som spørgsmål 2, men nu er small blind en halvkraftig engelsk udseende  ældre mand som er i gang med sin ottende Newcastle Brown (Dokkedal?). Han rykker nu allin dark (altså uden at se sine kort). Du kigger på 97s. Call eller fold?

Spørgsmål 4: EPT (9 handed) der foldes til tyskeren Katja Thater i SB med stack 27600. Blinds er 300/600 med 100 ante. Du har J9s. Hvad gør du i følgende scenarier: (1) BB er ukendt, (2) BB er Daniel Negreanu og (3) BB er den halvfulde ældre mand fra spørgsmål 3?

Spørgsmål 5 (cash game!) Du spiller NL2000 på et skattefrit site. Til venstre for dig sidder en af de irriterende professionelle shortstackers der gør helvede surt for dig når du åbner ned marginale hænder for at spille deep stacked poker mod fiskene ved bordet. Du har besluttet dig for at give tilbage med samme medicin: shove! Der bliver foldet til dig i SB og BB har 20 bb ( du dækker obv).

Du kigger nu på 85s. Jam or fold? Mere generelt: med hvilke hænder kan vi shove?

Spørgsmål 6 (cash game!) Du spiller NL2000 og en shortstacker åbner på button til 2,5 BB. Small blind folder. Shortstackeren åbner cirka 25% fra knappen – han åbner altid til 2,5 BB uanset holding. Du sidder i big blind med T9s. Hvad gør du?

Ovenstående spørgsmål er varianter over jam-or-fold spillet og du kan formentlig nikke genkende til ovenstående situationer. Spørgsmål 1 og 4 er jam-or-fold spillet set fra jammer'en synspunkt; Spørgsmål 2 er jam-or-fold spillet set fra call'erens synpunkt, mens spørgsmål 3 er en variant hvor modstanderen har en tilfældig hånd.

Da du så spørgsmålene så tænkte du nok: ”hmm, jeg rykker ind” eller ”hmmm, det må være et kald”, men uden at være helt skråsikker. Fortvivl ikke! -- der findes kompetente folk som har udregnet svarene for os.

Jam-or-fold spillet er beskrevet flere steder i litteraturen og i forskellige varianter.

Den første variant er beskrevet af Sklansky i Sklansky og Millers No Limit Hold'em Theory and Practice. Tabellen findes også i Sklansky's Tournament Poker for Advanced Players Expanded Edition. I Sklansky's variant viser(!) SB sine kort inden han rykker allin, og BB har så en nem beslutning om han vil kalde eller ej.

I denne variant drejer det hele sig om hvor ofte BB har en hånd han kan kalde med sammenholdt med de pot odds du får og tilbyder. Sklansky-Chubukov tallet er den stacksize (regnet i small blinds) som du maksimalt kan jamme profitabelt med i et $1/$2 NLHE spil. Hvis du rykker allin med en større stack så vinder du ikke blinds ofte nok til at opveje de gange hvor du taber hele stakken.

Hvis vi vender tilbage til Spørgsmål 1 Sklansky-Chubukov tallet for T8o er 12.2. Dvs. vi kan jamme profitabelt med op til 1220 ved 100/200 blinds eller ækvivalent vi kan jamme med start stacksizes op til 6,6 BB.. Vores stacksize var 1500 efter post af small blind, så vi må folde.

Den opmærksomme læser vil påpege at vi jo ikke viste vores hånd til BB inden vi rykkede all-in, og det må trods alt have en vis værdi at vores hånd er skjult. Ja, det har faktisk en ret stor værdi at vores hånd er skjult ved visse stacksizes.

Hvis vores stacksize er 200 efter at have posted en 100 small blind så rykker vi allin med any two og BB kalder med any two, så her har det ingen værdi at villain ikke kender vores hånd. Tilsvarende hvis vores stacksize er 40.000 efter at have posted small blind på 100. Hvis vi jammer her, så kalder villain kun med KK (muligvis) eller AA, så her har den heller ikke megen værdi at villain ikke kender vores hånd. Men ved stacksizes langt fra ekstremerne, så har det have stor værdi.

Der findes en gren af matematikken – Game Theory (spilteori) – som kan give os svaret. Ideen er at vi ikke kun raiser for value, men inkluderer bluffs ind i vores range. Hvis vi kun better/raiser for value med the nuts, så folder villain altid. Hvis vi bluffer ekstremt sjældent så folder villain stadig, men hvis vi bluffer hele tiden så må villain betale meget ofte. Ligevægten hvor vores value bets og bluffs er perfekt afstemt defineres af spilteori. 

Den spilteoretiske strategi har også den egenskab at ingen af modstanderne kan justere profitabelt: hvis SB jammer færre hænder så vinder han ofte forudsat at BB kalder med uændret frekvens, men BB kan justere sin calling range. SB opgiver sin SB oftere uden at blive betalt af, så det er skidt for SB. Omvendt, hvis SB jammer flere hænder så øger BB sin calling range og dermed taber SB mere. Hvis BB kalder mindre (og dermed vinder oftere når han kalder), så kan SB justere ved at jamme flere hænder (da BB oftere folder), og omvendt kalder BB flere hænder, så taber han mere når han kalder. Strategien er i ligevægt og ingen af spillerne kan korrigere profitabelt. Jeg overlader det til læserne at finde ud af hvem der er favorit i et sådant spil som funktion af stacksize (for de dovne findes svaret i Chen og Ankenmans Mathematics of Poker).

I jam-or-fold spillet så er vi aldrig på et stone-cold bluff, men semi-bluffer derimod (man kan aldrig være drawing dead allin preflop i heads-up NLHE). Sklansky-Chubukov tallene er således worst-case scenario: du kan således altid skubbe profitabelt med stacksizes mindre end SC tallet, men faktisk kan man ofte skubbe profitabelt med endnu større stacksizes.

Chen og Ankenman i Mathematics of Poker og Andy Bloch i Full Tilt Poker Strategy Guide- Tournament Edition har regnet på jam-or-fold spillet hvor man tager hensyn til semi-bluff potentialet. Det er relativt kompliceret at udregne, men heldigvis findes der tabeller som både angiver maksimalt antal BB for jam og maksimalt antal BB for call.

I Andy Bloch's tabel er T8o angivet med værdien 16, hvilket betyder vi kan jamme profitabelt med en startstack på 16 BB og da vores stackstack i spørgsmål 1 var 8,5 BB så har vi et easy shove! Bemærk forskellen mellem SC tallet på 6,6 BB og Andy Block-tallet på 16 BB – en hånd som T8o har tilsyneladende et stort semi-bluff potentiale!

Hvad er så den dårligste hånd vi kan jamme profitabelt med for 8,5 BB. Et kig i Andy Bloch's tabel giver: any pair, any ace, any king, Q2s+,Q5o+, J2s+,J7o+,T4s+,T7o+,95s+,97o+,85s+,87o+,74s+,76o,64s+,54s.

Lad os nu sige at vi jammer spilteoretisk korrekt med 8,5 BB i Spørgsmål 1. Med hvilke hænder skal villain kalde? Svaret findes også i Andy Blochs tabel: villain skal kalde med any ace, any pair, K2s+, K3o+, Q5s+,Q8o+,J7s+,J9o+,T8s+,T9o. Da de færre villains (med undtagelse af måske Gus Hansen) snap-caller dit allin med K2s eller Q6s, så kan man faktisk rykke allin profitabelt med flere hænder. Sådanne tabeller findes ikke, da de er modstanderafhængige.

Andy Bloch og Sklansky har dog udregnet tabeller som kan benyttes mod en modstander som ikke spiller spilteoretisk korrekt, men i stedet kan klassificeres ved om de f.eks. rykker allin med top10%, top25%, top50% eller any two.

Hvis vi går videre til spørgsmål 2, så kan man i Andy Bloch's tabel se at man skal kalde pushes op til 22 BB med QTs såfremt SB spiller optimalt. Med optimalt menes der at SB skubber any pair, any ace, K2s+,K3o+,Q2s+,Q8o+,J3s+,J8o+,T4s+,T7o+,95s+,97o+,85s+,87o,74s+,76o,64s+,54s. Vores read er at villain er en matematisk nørd og han spiller nok tæt på spilteoretisk optimalt, så vi insta-caller selvfølgelig med QTs.

Spørgsmål 3 er en speciel variant af jam-or-fold hvor SB jammer any two. For stacksizes > 2 begår SB spilteoretiske fejl, men i praksis så kalder folk ofte meget tight og stacksizes skal nok være over 10 før SB begår store fejl.

97s har 49.1% mod en random hånd. Benyt enten Pokerstove (kan gratis downloades fra www.pokerstove.com) eller slå op i Andy Bloch's tabel. Vi skal kalde 1600 for at vinde en pot på 3600, dvs. vi skal blot have 44%, så vi insta-fist-pump-caller selvfølgelig med 97s. Vi kan faktisk kalde med 85s+ og 96o+.

Det er en lille krølle på spørgsmål 1-3. De omhandler alle turneringsspil. Her optræder der den effekt at værdien af turneringschips undervejs ændrer værdi i $ og alle beregninger der ligger bag SC tallene og tallene i Andy Blochs tabeller er udregnet i T$ eller cashgame $. I en turnering ønsker vi ikke at træffe beslutninger som er korrekte i T$ men som er korrekte i ”rigtige” $. For langt de fleste beslutninger kan man ignorere forskellen mellem T$ og $, men omkring boblen og ved store spring i gevinster (typisk på final table, men der er også mini-bobler undervejs), så kan der være stor forskel, så her bør man normalt være konservativ i marginale beslutninger. Man kan faktisk vise matematisk er det er ukorrekt at tage close gambles for alle ens chips (det klassiske eksempel er på boblen i en SNG hvor alle spillere har lige mange chips: hvis to spillere ender allin som 50-50, så taber de begge $$$, medens de to spillere som ikke er allin vinder $$$!) (læs evt. mere om dette i Sklansky's Tournament Poker for Advanced Players (både den originale udgave og Expanded Edition).

Spørgsmål 4 blev livligt diskuteret i denne tråd http://www.pokernet.dk/forum/show.asp?tid=147017.

SC tallet for J9s er 26, dvs. vi kan rykke allin for 26 small blinds. Dette svarer til at vi tilbyder odds 26:3 eller knap 9:1. Aktuelt tilbyder vi 27100:2700 eller 10:1, så SC tallet giver EV(fold) > EV(shove). Som sædvanligt viser vi ikke vores hånd til vores modstander, så vi kan shove  noget oftere.

Tager vi i stedet Andy Blochs tal så er det 72 BB for J9s!!! Dvs. vi kan profitabelt tilbyde op til odds 72:1.5 eller 48:1 så med disse tal så er EV(shove) > EV(fold) – spørgsmålet er så bare om vi kan finde en alternativ strategi (f.eks. raise 3 x BB, 4 x BB, limpe, etc.) som har EV(alternativ strategi) > EV(shove). Denne strategi er selvfølgelig modstander-afhængig:

(1)   Ukendt modstander: jeg tror bare jeg raiser til 4 x BB og tager den derfra.

(2)   Modstander er Daniel Negreanu: han spiller for godt postflop, så jeg jammer bare! Han kalder formentlig ret tight da han ikke ønsker at ”flippe” om 23 bb.

(3)   Modstander er den fulde englænder: vores read er at han tidligere er set shove in the dark, så hvis vi raiser 4x BB, så er der en pæn sandsynlighed for at han shover, så jeg tror bare jeg shover selv først. Han kalder måske light, men derfor er vores move stadig profitabelt.

Bemærk at EV(shove) > EV(fold) = 0, så det kan aldrig komme på tale at folde hånden.

Hvis man kigger på Sklansky-Chubukov tallene så har følgende hænder SC tal større end 30 (da vi tilbyder odds 10:1 eller 30:3, så er skal SC tallet være større end 30): any pair, any ace, K4s+,K8o+,Q9s+,QJo,JTs (ca 30% af vores hænder), så du kan skubbe disse hænder profitabelt hvis du viser din hånd først.

Hvis vi i stedet benytter de spilteoretiske tal af Andy Bloch så kan vi skubbe profitabelt med følgende hænder (de har Andy Bloch tal større 15 (svarende til odds 15:1.5): any pair, any ace,K6o+,K2s+,Q9o+,Q4s+,J9o+,J5s+,T8o+,T6s+,98o,96s+,85s+,75s+,65s (over 45% af vores hænder) såfremt at shortstackeren spiller spilteoretisk korrekt. I praksis så er mit indtryk at shortstackers kalder allins tightere end de burde og man kan derfor skubbe flere hænder end ovenstående range. I det øjeblik at shortstackeren begynder at justere calling range, så må vi mod-justere. I teorien ville vi justere frem-og-tilbage indtil vi rammer præcis ovenstående range.

Nogen vil påpege at det måske er bedre at limpe eller raise 2-5x med vores gode hænder. Problemet med denne strategi er at den kan udnyttes af en observant shortstacker: han (folder) næsten altid til vores 3x raises, men kalder vores shoves lightere. Vi modjusterer selvfølgelig ved at raise vores allerdårligste hænder til 3x, og shove vores bedste hænder; shortstackeren modjusterer etc etc; indtil vi rammer en optimal strategi hvor vi raiser et passende mix til 3x og et passende mix til 20x.

 Pointen er at strategien hvor vi altid shover ovenstående range er matematisk profitabel, men der findes måske bedre strategi hvor vi raiser et range til 3x og shover et range.

Tilbage til spørgsmål 5: 85s er altså lige på grænsen til hvad vi kan skubbe profitabelt, så vi jammer –  fordi det at shove mod en mofu shortstack og se ham folde (alternativt: se ham kalde med AK og tabe til vores 85s) ligger højt på morskabs-skalaen).

I spørgsmål 6 afhænger svaret af vores modstanders strategi.

Lad os sige at han altid kalder vores jam efter han åbner til 2,5 BB. Vi skal investere 19 BB for at vinde 20,5 BB (shortstackerens 20 BB + small blind 0,5 BB). Vi skal altså derfor have 46.9% mod villains range. Andy Bloch har også tabel med sådanne ranges (eller du kan bruge pokerstove).

Hvis villain altid kalder så kan vi shove: 44+,A7s+A9o+,KQs såfremt villain åbner 25% og altid kalder.

I praksis så kalder villain relativt tight. Lad os sige villain kalder top 10% (88+,AJo+,A9s+,QTs+,KQo). Dvs. 2/5 gange bliver vi kaldt og 3/5 gange vinder vi 2,5 + 0,5 + 1 = 4 BB.

EV = EV(villain folder) + EV(villain kalder)

 = 3/5 * 4 BB + 2/5 * (p * 20,5 BB – (1-p) * 19 BB)

hvor p er sandsynligheden for at vi vinder hvis vi bliver kaldt.

Hvis man løser ovenstående ligning for p så får man: p > 26/79 = 32.9%, hvilket svarer til range: any pair, A4s+,ATo+,K4s+,KJo+,Q8s+,QJo,J8s+,T8s+,97s+,87s,65s,54s (svarende til top 22%).

Igen så kan der findes strategier hvor vi kalder raiset, eller laver små reraises, men ovenstående er i hvert fald EV neutral.

Jeg håber ovenstående eksempler giver nogle ideer til hvordan man kan angribe og løse sådanne problemer samt har givet nogle værktøjer til at hvordan man kan analysere disse post-mortem.

When in doubt: shove!

-- så kan man ikke begå flere fejl i hånden

Litteratur:

The Full Tilt Poker Strategy Guide edited by Michael Craig

No Limit Hold'em Theory and Practice af David Sklansky og Ed Miller

Tournament Poker for Advanced Players Expanded Edition af David Sklansky

Mathematics of Poker af Bil Chen og Jerrod Ankenman