En lille matematik-gåde

Nu var Monty Hall problemet oppe at vende igen, så jeg, så tænkte jeg ville bringe denne lille sag på banen:

Det er igen et gameshow og du har vundet og skal nu vælge din præmie.
Du bliver præsenteret for 2 konvolutter, der hver indeholder en check.
Det ene beløb er dobbel så stort som det andet. Når du ser beløbet på en check, ved du dog ikke om det er størst eller lavest.
Når du har set beløbet på den første check, står det dig frit for at vælge om. Ombyningen er bindende.

Du vælger nu en konvolut og ser at beløbet er 100 kr.
What's your play?

100 kr, ville jeg sgu være græskkatolsk over at tabe, så jeg røg sgu på den anden. Det var ik så svært ;-)

Ved ombytning taber vi enten 50 kr. eller vinder 100 kr.
Da begge sker med 50% sandsynlighed, er der +ev ved at bytte om.

har vi vidst haft før...venter lige lidt med svar

tager den anden konvolut for jeg vil skide 100 kr et stykke, hahaha :)

ok, hurtigt skud fra hoften

altid bytte,

pg.a . hvis du får en fordobling af beløbet, er denne mere værd end en evt. halvering.

ZzzZZzzZZ said it...

ok ok så står der 100.000 på checken :-)

hahahahaha bytter stadig!!! bjørnen sagde dét!!!

Ja, de 100 kr var bare for at vælge et tal. der kan stå 10 mill, det er fuldstændig ligegyldigt.

@repsak
Problemet er jo så, at så behøver vi aldrig kigge på beløbet på den første check, hvis vi altid skal bytte. Derfor kan man blot vælge konvolut 2 til at starte med. Men når vi så har valgt konvolut 2 har vi samme problem stilling

Hvor langt skal man så op, før den evt. halvering vil være for betydningsfuld? Det er vel det interessante.

Om så du fik en check på 10 mio, vil det jo stadig være +EV at vælge den nye.. Men vil "tabet" af 5 mio. ikke være ret grusomt?

@Beck

nå okay de 100 kr var bare et tal!!!!!

ROOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOFL

:))))))))))))))))))))))

KatrineW>> Kommer an på, hvor risikoavers man er og hvorvidt ens nyttefunktion er konkav eller konveks mellem de to punkter. Er den konkav vil man altid bytte.

Man vinder vel 25 % EV af det oprindelige beløb ved at bytte...

Hvis man bytter 2 gange, hvor man dobler, og man halvere beløbet får man i eksemplet:

200 kr.

50 kr.

=250 kr. i alt

250 / 2 = 125 kr. i gennemsnit

Og det spørgsmål omkring hvor højt man skal op i, er jo afhængig af hvem man er, og hvor mange penge man har... Det handler om faldende nytteværdi, det er det samme princip som der er med i deal/no deal

Ok, lad mig klarificere.
Du skal vælge enten konvolut 1 eller 2. Når du har set beløbet på den valgte konvolut, kan du vælge den anden, det er så bindende.

Hvordan EV-optimerer du?
Det er ikke et spørgsmål om marginal nytte-værdi, for det er forskelligt for alle mennesker. Det er kun et spørgsmål om at få flest skillinger.

Og til jer der siger:
Ved ombytning taber vi enten 50% eller vinder 100%.
Da begge sker med 50% sandsynlighed, er der +ev ved at bytte om.

hvis man altid skal vælge den anden konvolut, kunne man ligesågodt starte med at gøre det. men så er den jo pludselig blevet første-valget, og skal derfor altid skiftes ud......

@ ham den lange!

Du kan kun bytte 1 gang. Derfor kan din beregning ikke bruges.

Og ja... bytter de 100 10/10 gange

kommer an på om det er på et dansk gameshow, for der ved man at præmien aldrig over går et par mio. sååååå logisk at den må være mindre hvis man har trykket 10mio :)

Kejser_D

Hamdenlange's beregning er korrekt. Når du beholder de 100 kr. er EV 100 kr. Når du bytter er EV 125 kr.

Beck

Pga. ovenstående skal du altid bytte, ligegyldigt om du åbner 1 eller 2 først.

Hmm, men hvis min EV er positiv ved at bytte, hvorfor er TV-stationens EV så ikke negativ?

Tager begge konvolutter og løber, det gør vi i provinsen.

Ja, en EV beregning er umiddelbart rimelig simpel.
men forklar mig følgende:

Hvis vi vælger nr 1, skal vi altid bytte til nr 2
Hvis vi vælger nr 2, skal vi altid bytte til nr 1

Vælger vi nr 1, og SKAL derfor skifte til nr 2, kunne vi lige så godt bare have valgt nr 2 til at starte med. Men i så fald skal vi skifte til nr 1 for at optimere.

Da beløbet på den første check er underordnet, kan det stilles op som følger:
Du vælger en konvolut og kan skifte til dne anden konvolut når du vil, indtil du endelig beslutter dig for hvilken du vil have. Først da ser du beløbet på checken.
Du starter med at vælge nr 1. For at EV-optimere skifter du til nr 2. For at EV-optimere skifter du til nr 1. For at EV-optimere skifter du til nr 2. For at EV-optimere......

Jeg ville aldrig komme i banken med en check på 100kr

Beck

Nej, ikke sådan. Du starter jo med at vælge en konvolut og åbner den for at se beløbet. Der kan fx. stå 100 kr. Dernæst er spørgsmålet: Vil du have 100 kr. så behold den. Vil du have 125 kr. så byt til den anden.

@Beck

der kan ikke byttes flere gange...

@Orty
Vær nu lidt kreativ :) I teorien kan der byttes ud i det uendelige. Så længe du ikke har kigget på beløbet, er situationen lig med initial situationen, uanset hvor meget du bytter frem og tilbage.

Det er da godt nok et paradoks, men hvordan kan man regne EV ud, når man ikke kender beløbene i kuverterne? Det er jo så en slags imaginær EV man beregner og ikke den sande EV.

Det jeg mener er, at hvis de 100 kr. er det højeste man kan vinde (50 kr. dermed det laveste), så kan EV da aldrig overstige 100 kr.

@gabril

Finten er jo netop, at gåden ikke giver nogen mening, hvis du ikke kender minimum ét af beløbene. Så kan der jo være henholdsvis 1 mia. og 2 mia. i kuverterne eller 1 kr. og 2 kr. Det eneste du kan være sikker på, at det er +EV at vælge én af kuverterne i stedet for at løbe skrigende bort fordi man er en kreativ EV-beregnende pokerspiller... lol

Når du så har valgt (og åbnet) en kuvert, vil det altid være +EV at bytte. Det kan så godt være at du mister halvdelen af initialgevinsten, men det er dog bedre end gå glip af det dobbelte...

Der er ingen der snakker om at løbe skrigende bort. Jeg antyder blot, at jeg vil tro, at det er ligegyldigt om man skifter, da den information man har fået ikke er nok til at lave en EV beregning.
Prøv at simulere det i Excel det skulle være forholdsvis simpelt.

Sick one....

Problemet skal efter min mening stilles anderledes op.

Beløbet i konvolut nummer to bliver jo ikke først afgjort når du vælger at åbne den. Det står der i forvejen.

Derfor befinder du dig når du åbner konvolut 1 med 100 kr. i, i en af følgende to situationer :

Situation A: De to konvolutter indeholdt 50 og 100 kr.
Situation B: De to konvolutter indeholdt 100 og 200 kr.

Situationen bliver IKKE ændret af om du bytter eller ej. Derfor er det +EV at bytte hvis du er i situation A, men -EV at bytte hvis du er i situation B. De to situationer er lige sandsynlige.

Altså, med andre ord - det er ligegyldigt om du bytter eller ej.

Det er i øvrigt let at se at det må være sådan hvis du forestiller dig at en af dine venner spiller spillet samtidig og åbner den ANDEN konvolut samtidig med at du åbner den første - så skulle i nu begge kunne tjene på at bytte :)

Zaphod

A og B er lige sandsynlige ja, men EV for B er mere positiv end den er negativ for A.

Er denne situation anderledes?
Jeg giver dig 100 kr. Du kan nu vælge at gamble lidt - vi slår plat og krone. Hvis plat får jeg 50 tilbage - hvis krone får du 100 mere. Er du game?

@tussen

Nu har du jo pludselig en situation hvor udfaldet af gamble 2 er uafhængigt af udfaldet af førstevalget, og det er jo ikke helt tilfældet

@tussen
Men pointen er jo at du ikke står og kan vælge mellem situation A eller B.

Dit eksempel er anderledes.

Jeg garanterer dig at det i OP's opgave er helt ligegyldigt om du bytter eller ej. Det er et falsk præmis at udlægge det som et fifty/fifty flip mellem 50 og 200 kr.

omg

Vi er enige om at EV er 1.25
0.5*0.5+0.5*2=1.25

I blander tingene sammen.
-Man kan bytte ligeså tosset før man ser(ligesom at bytte hole cards i poker)
-Når man ser skal man kun bytte EEN gang.
Hvis som "beck mener man kan bytte i det uendelige er det fordi man er skævt ude, for anden gang man bytter er EV beregning IKKE den samme.
For hver gang ulige gang man bytter er det positiv EV og hver lige negativ.
At sige forskellen er du IKKE ser på kortet efter hvert byt KUN første gang. Det er ikek et paradoks

man kan også se det mere matematisk udledt
en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
/chub

@Chubtoad
"Vi er enige om at EV er 1.25"

Nej, det er vi ikke. EV er 1 (eller 100 kr.)

Hvis du vil betale 110 kr. per spil i min bod, så er den åben :) Det må jo så være +EV for dig ;)

jeg er ved at blive fuldstændig vanvittig af at overveje det her.

Hvis man kender scenariet med at bytte før man vælger nogen konvolut, virker det klart at det er fuldstændigt ligegyldigt om man bytter eller ej.
man vælger nr 1, men er så klar over at man vil bytte til nr 2 og derfor kan man spare sig ulejligheden og vælge nr 2 til at starte med, men man vil så bytte til 1 igen osv osv osv.
Altså 50/50 uanset om man ender med det høje eller lave tal.

Spørgsmålet er så om det gør nogen forskel hvis man først bliver præsenteret for scenariet efter det første valg?

@Chubtoad
Den side giver jo en matematisk gennemgang af hvorfor det er et paradox. Paradox'et består jo netop i at det ved første (og andet) øjekast virker som om det kan betale sig at bytte, men det kan det selvfølgelig ikke.

De forsøger så at vise hvordan det matematisk hænger sammen. Nu har jeg googlet lidt og der er adskillige sider som gennemgår matematikken bag og forklarer hvad det er for sandsynligheds-regnings-fejl man begår når man laver den "simple" +EV beregning.

Edit: Jeg er efter læsning af de sider faktisk nødt til at tilstå at jeg ikke er matematisk begavet nok til at forstå forklaringerne - det er tilsyneladene et paradox som optager de skarpeste matematiske hjerner :)

Tak til OP - elsker den slags.

Bare for at tilføje en lille tvist:

Forestil dig, at du er med i samme show, med samme regler.

Bortset fra at du skal beslutte dig for om du vil bytte, inden du får beløbet at vide.

Altså; du vælger en konvolut, og bliver tilbudt at bytte, inden du kender indholdet. Kan det betale sig at bytte?

For mig lyder det somom det er ligegyldigt.


Men hvis man får et tilfældigt beløb stukket ud, så kan det pludselig godt betale sig?

Den tror jeg ikke på.

Ejnar Pik, Sydhavnen.

Self var den simple 1.25 EV beregning rigtig, men Beck løftede paradokset videre, ved at kunne skifte flere gange, hvilket leder til nyt problem og ny løsning etc.

Det sjove(som matematiker) er at det hele(indtil nu i løsningsrummet) handler om semantik, og som vi ved er semantik slutning af af al rationel diskussion og starten på reliøs overbevisning.

/chub

@Chub
Nej, din 1.25 beregning er ikke rigtig - paradoxet består i at bevise matematisk hvorfor.

Det er det den side du selv linkede til handler om bl.a. - men med mindre du er virkelig meget skarpere på matematik en jeg, så kan du nok heller ikke helt følge udregningerne :)

Her er flere :
web.mit.edu/~emin/www/writings/envelopes.html
www.maa.org/devlin/devlin_0708_04.html

Og den her som er lidt lettere at forstå
www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A20361737

Den nemme måde at se det på:

Vi opstiller de to strategier:

1) Vi vælger en konvolut, og vælger om når vi ser beløbet, uanset størelse.
2) Vi vælger en konvolut, og beholder den når vi ser beløbet, uanset størelse.

Lad os antage at quiz-show-værten har lagt hhv. 100.000 og 200.000 i konvolutterne.

Begge strategier giver 50% chance for at ende med hhv. den ene og den anden gevinst. Begge giver således en EV på 150.000.

(Den må da være nem at lave i en computersimulation, bare husk at beløbene skal vælges før der besluttes om der vælges om.)


Bemærk dog, at hvis gevinsten udbetales i US$, er det -EV at bytte. Vi tager den første konvolut, og skynder os ned at veksle, inden $'eren falder yderligere.

Ejnar Pik, Sydhavnen.

Den wikipedia side som ChubToad linker til foreslår følgende fejl i paradokset:

I EV beregningen antages det at sandsynligheden er 50/50 for om man har den store eller den lille check, når man kender beløbet på den.
Det kan ikke være tilfældet.
Summen af sandsynligheden af alle beløb skal være 1 før sandsynlighedsfordelingen kan godtages. Der findes uendeligt mange beløb, hvis de alle har en lige stor sandsynlighed, så er summen enten nul eller uendeligt.

@Zaphod
Jeg tror du kan gå fra jeg er virkelig meget skarpere til matematik.

det hele handler om ordlyd , før vi kan snakke ommatetik og paradokser.

@Chubtoad
Jeg ved ikke lige hvad du mener.

Er du enig i følgende :

Der er opstillet et paradox. Paradox'et består i at det VIRKER som om det kan betale sig at skifte konvolut når man laver den beregning du laver. Løsningen, eller forklaringen - udfordingen er at vise HVORFOR den beregning er forkert, for det er den jo åbenlyst. Derfor er det et paradox.

Ok fedt problem, jeg har også læst lidt på Wiki. Jeg skal til at lære ikke at være så skråsikker ved første øjekast.

Hypotese:

Man kan ikke beregne sandsynlighed på noget som ikke eksisterer/ikke kan lade sig gøre.
I +EV beregningen går man ud fra, at begge udfald (2X og X/2) altid er mulige efter valget af første konvolut. Men det er de ikke. I 50% af tilfældene kan 2X IKKE lade sig gøre (beløbet 2X eksisterer ikke), og i 50% kan X/2 ikke lade sig gøre. Når man trækker 2X/2 + X/2/2 ud, ender man i 0 (neutral EV).

Sagt anderledes: EV beregning for det som ikke kan lade sig gøre er 2X/2 + X/2/2 - prøv fx. at erstatte X med 100, så giver resultatet 125. EV for det mulige og det umulige ophæver dermed hinanden.

Jeg ved, det er rystende rodet, men jeg er ikke matematiker eller statistiker. Thyssen? :-)

Nu er jeg ik det store matematiske geni, så alle de udregninger falder til jorden på mig :)

Men for mig ser det ud som et gambling spørgsmål. Vil du risikere det halve for at vinde det dobbelte ?

Eks. check et = 100kr

Vil du nu satse 50kr for at vinde 100kr, det ser ud til at være +EV for mig

@klein
Selv hvis man ikke er matematiker kan man se paradox'et i situationen når du forestiller dig din tvilling som samtidig har valgt den anden konvolut og står med samme dillema. I skulle så begge få +EV ved at bytte, men det KAN jo ikke lade sig gøre. Hvor skulle pengene komme fra ?

Forvirringen er total.

Det er kun hvis man må skifte flere gange, at der ikke er nogen løsning på problemet.

Hvis man kun må skifte en gang, så *kan* det betale sig.

@nemuuh
"Hvis man kun må skifte en gang, så *kan* det betale sig."

Gider du forklare "tvillinge" paradoxet jeg beskriver ovenfor så ?

Det er nemt at se at der er et paradoks og at EV-beregningen er forkert (altså at EV er forskellig fra neutral). Det ses let ved følgende som er saktet fra wiki-linket:

1: Let the amount in the envelope chosen by the player be A. By swapping, the player may gain A or lose A/2. So the potential gain is strictly greater than the potential loss.

2: Let the amounts in the envelopes be Y and 2Y. Now by swapping, the player may gain Y or lose Y. So the potential gain is equal to the potential loss.

Man får altså en anden "EV-beregning" hvis kuverterne indeholder Y og 2Y i forhold til Y og Y/2, hvilket naturligvis er absurd.

@Zap
Det der tvillingeparadoks giver jeg ikke meget for.
I det oprindelige eksempel har vi en bekendt og en ubekendt.
Det er der jo ikke i dette eksempel.


@neemuuh
Det er jo ikke fordi man bytter flere gange konkret, det er et tankespind man gør sig.
Forestil dig at du vil vælge konvolut nr 1, men du ved at når du ser beløbet vil du bytte den for nr 2. derfor kan du ligeså godt vælge nr 2 til at starte med, ellers er det jo molboarbejde. Men igen ved du at når du ser beløbet vil du bytte så du kan ligeså godt vælge nr 1 - and so on and so on.... Du vil så indse at det er ligegyldigt hvilken du vælger og om du bytter eller ej...

@Marryat
"Det der tvillingeparadoks giver jeg ikke meget for.
I det oprindelige eksempel har vi en bekendt og en ubekendt.
Det er der jo ikke i dette eksempel."

Hvad mener du ?? Hver af de to tvillinger står da med præcis samme information. De har begge åbnet en konvolut. De ved ikke hvad den anden har, men ifølge nogle argumenter i tråden her skulle det være +EV for dem begge at bytte til den anden konvolut.
Det giver jo ikke mening !

@Krabo
Ja, det er også en fin måde at illustrere paradoxet på.

Øh nej vi har jo info som tvillingerne ikke har.

Hvis de eks. trak henholdsvis 100 kr og 200 kr. så laver ham der trak 200 jo sin beregning ud fra at der er 50/50 for om han trækker 400 eller 100. det er jo ikke tilfældet.
I det oprindelige eksempel er der en ubekenndt.

Hvor er Thyssen

Zaphod,

Hvis du har to konvolutter, og du har givet dem begge to væk, så er det sgu lidt svært at lade den ene bytte, og den anden beholde sin, eftersom de står med de to eneste konvolutter der er. :>

Hvis jeg sagde, at jeg ville give dig 100 kr., og jeg så gav dig muligheden for at slå plat eller krone om enten at miste 50 kr., eller få 100 kr. ekstra, ville du så beholde dine 100 kr., eller tage chancen?

EDIT: Et eller andet sted, så er mit plat/krone eksempel ikke fuldkommen magen til konvolut eksemplet. Men idéen går på det samme.

Men jeg er enig med dig når man ser på det på et overordnet teoretisk niveau.

Mit problem er bare stadig at hvis jeg står med 100 og kan veksle dem for enten 50 eller 200, så vil jeg selfølgelig gøre det. altså jeg kan ikke få den overordnede teori til at hænge sammen med et konkret eksempel.

@Zap: Du snakker om +EV. De kan godt begge have + i EV, for EV er jo ikke det samme som det endelige resultat. Selvom det er +EV for mig at kalde et AI, så kan jeg jo sagtens tabe ;-)

@Zap

med hensyn til tvillingeeksemplet, mener jeg at du overser en detalje, som tidligere er nævnt i tråden.

Vi går ud fra at tvillingerne naturligvis ikke kender hinandens beløb på checkene. Vi kender beløbene. Tvilling A står med 100 kr. og tvilling B står med 200 kr. Valget om de skal bytte, skal de så træffe uafhængigt af hinanden. Det giver dermed også forskellige mulige udfald for tvillingerne.

Tvilling A har (teoretisk) muligheden for at få enten 50 kr. eller 200 kr.

Tvilling B har (teoretisk) muligheden for at få enten 100 kr, eller 400 kr.

At vi ved at to af de ovenstående udfald ikke er mulige (50 kr. og 400 kr.) gør ikke den enkelte tvillings EV-beregning forkert. Præmissen er blot at der SKAL være ét kendt beløb og ét ubekendt (og dermed to mulige udfald af et bytte). Hvis denne præmis er opfyldt, vil det altid være +EV at bytte.

Jeg kan være way off (meget muligt :o))

Jeg kan sagtens se, at dette problem ikke er lige til, og der foreligger da også et paradoks, men jeg mener dog, at dit eksempel ikke kan bruges til at belyse paradokset.

nemuhh Skrev

"Zaphod,

Hvis du har to konvolutter, og du har givet dem begge to væk, så er det sgu lidt svært at lade den ene bytte, og den anden beholde sin, eftersom de står med de to eneste konvolutter der er. :>

Hvis jeg sagde, at jeg ville give dig 100 kr., og jeg så gav dig muligheden for at slå plat eller krone om enten at miste 50 kr., eller få 100 kr. ekstra, ville du så beholde dine 100 kr., eller tage chancen?

EDIT: Et eller andet sted, så er mit plat/krone eksempel ikke fuldkommen magen til konvolut eksemplet. Men idéen går på det samme."


Et udmærket indlæg, der klart illustrerer, hvad folk lader sig forvirre af.
I dit plat/krone eksempel, kan det selvfølgelig betale sig at spille videre. Problemet er bare, at eksemplet ikke svarer til det opstillede paradox.

I paradoxet har man allerede truffet et valg (i blinde), når man bliver oplyst om, hvor stort et beløb man kan vinde. Man har, med andre ord, allerede været heldig eller uheldig.

Ejnar Pik, Sydhavnen.

Regn i forventede værdier og du har resultatet. Hvis 100 kr er det største beløb er den anden check på 50 kr. Hvis 100 kr er det mindste beløb er den anden check på 200 kr.

Den forventede værdi er altså gennemsnittet af de 2 udfald:

E(check) = ½ x 50 + ½ x 200 = 125 kr

Da den forventede værdi overstiger værdien af checken vi står med i hånden skal vi altså vælge at modtage den anden check bindende.

Regn i forventede værdier og du har resultatet. Hvis 100 kr er det største beløb er den anden check på 50 kr. Hvis 100 kr er det mindste beløb er den anden check på 200 kr.

Den forventede værdi er altså gennemsnittet af de 2 udfald:

E(check) = ½ x 50 + ½ x 200 = 125 kr

Da den forventede værdi overstiger værdien af checken vi står med i hånden skal vi altså vælge at modtage den anden check bindende.

Orty er spot on imo

@Noataima
At du gentager den forkerte beregning gør den ikke mere rigtig :)

Det du skriver der står flere gange i tråden og regnestykker forstår vi allesammen og det er jo DET der gør opgaven spændende ... og til et paradox.

Det er fordi det umiddelbart virker som om det er rigtigt at der er 125 kr. forventet værdi i at bytte, men det kan man hurtigt se må være umuligt - problemet er at vise hvorfor og hvad den rigtige regnemetode er. Hvis du ser på nogle af de internetlinks der er postet kan du se at selv verdens skarpeste matematikere diskuterer hvordan man bedst "beviser" situationen matematisk.

Jeg ved, at mit indlæg 22:38 er rodet, men det må altså være der den ligger.

Krabo har sakset dilemmaet fra Wiki 00:59:

****
1: Let the amount in the envelope chosen by the player be A. By swapping, the player may gain A or lose A/2. So the potential gain is strictly greater than the potential loss.

2: Let the amounts in the envelopes be Y and 2Y. Now by swapping, the player may gain Y or lose Y. So the potential gain is equal to the potential loss.
****

I 1 fastsætter man første konvolut til konstanten A og anden konvolut til en variabel, enten 2A eller A/2. Men den ene af disse eksisterer jo ikke og kan derfor aldrig lade sig gøre!

I 2 fastsætter man 2 konstanter, hvilket er korrekt, da de begge er givet på forhånd, vi kender dem blot ikke.

neemuh's plat og krone eksempel 1:21 (som jeg faktisk beskrev længere oppe :-) er derimod korrekt i forhold til udsagn 1, da udfaldet af "konvolut 2" her rent faktisk ER en variabel - begge udfald kan lade sig gøre.

Ja, selvfølgelig er EV beregningen forkert, som wikipedia linket med så mange ord og formler prøver at forklare.

Spørgsmålet er så hvordan man skulle agere, hvis man rent faktisk stod i et tv show, og skulle vælge, efter at have set beløbet i den ene konvolut - Altså hvordan fungerer den VIRKELIGE verden?

I det teoretiske eksempel er præmisen at det beløb du ser vil ligge i intervallet ]0 : oo[ (fra og ikke med nul, til og ikke med uendeligt). I virkeligheden ville der være en øvre grænse for hvor meget tv selskabet har råd til at udbetale i gevinster. Det vil sige at hvis du åbner konvolutten og der står 1.000.000, så skal du nok holde fat i den, da man i Danmark sjældent ser gevinster meget højere end en million.

Ligeledes har tv producere en svaghed for pæne runde tal, så hvis der på din check står 1500,- så vil det sikkert være fornuftigt at bytte, da 750 er et underligt skævt beløb at udbetale i præmie. Det kunne selvfølgelig være at du er offer for omvendt psykologi, men what the fuck, det er jo bare et spil :-)


Den slags problemer har det med at få folk op ad stolene, og mange vil gå meget langt for at fastholde deres intuitive (og forkerte) opfattelse af sandsynlighederne. Hvis jeg er i et selskab, hvor samtalen går lidt trægt, så kan jeg finde på at nævne dette lille problem, der sagtens kan få snakken til at gå i et par timer:


Du er i et tv show (et andet et af slagsen), hvor du er nået til finalen. Du står foran tre døre, og bag en af dem er hovedgevinsten. Bag de andre to er der ingen ting.

Du får lov til at vælge en dør, men før den åbnes siger tv værten: "Lad mig lige vise dig hvad der er bag en af de andre døre", og han åbner en dør, hvor gevinsten ikke er bag.

Så siger han "Jeg giver dig en chance for at ombestemme dig. Vil du holde ved dit oprindelige valg, eller vil du vælge en anden dør?"

Spørgsmålet er så om det kan betale sig at ombestemme sig, eller om det kan være lige meget?


For statistisk begavede mennesker som dem der findes her på PN, burde det rigtige svar være åbenlyst, men i almindelighed får folk den forkerte ide, og selv om man bruger meget lang tid på at forklare tingenes rette sammenhæng VIL de bare ikke acceptere andre konklusioner end den de selv var kommet frem til fra starten af.

Haha... Jeg kunne godt lidt fornemme, at min 2-liniers forklaring var for simpel, da jeg postede den...

Meget sjovt paradoks... Det kendte jeg ikke... God wiki-læsning...

@SteelChicken

I din opstillede gåde (Monty Hall) skal du passe på formuleringen:

"Du får lov til at vælge en dør, men før den åbnes siger tv værten: "Lad mig lige vise dig hvad der er bag en af de andre døre", og han åbner en dør, hvor gevinsten ikke er bag."

Idéen er jo ikke at han åbner en tilfældig af de to døre. Det bør i stedet være:

"Lad mig lige vise dig hvilken dør gevinsten i hvert fald ikke er bag."

Med mindre du selvfølgelig prøver at snyde os allesammen, og det faktisk ikke kan betale sig at skifte i din gåde ;-)

@Hennej

Det har du helt ret i. Jeg tog lige et brusebad, efter jeg skrev indlægget, og mens jeg stod der, tænkte jeg at jeg nok lige skulle ændre lidt i teksten, men du kom mig altså i forkøbet :-)

Som de fleste paradokser har dette paradoks nogle "usagte" forudsætninger som ikke holder vand.

Præcis ligesom haren der aldrig vil indhente skildpadden. Man går ud fra, at uendelig mange positive tal langt sammen vil give uendeligt. Dette er dog forkert.

Eks: Haren løber 10 gange hurtige end skildpadden. Skildpadden har 1 meters forspring.

1+0,1+0,01+0,001+0,0001+...... = 10/9

I situationen med konvolutter påstår man, at der kan vælges et tal tilfældigt, i den første konvolut, mellem nul og uendeligt. Dette kan ikke lade sig gøre. Man vil altid kunne argumenterer for, at det ligger i den lave ende.

Hvis man vælger et interval bliver problemet trivielt. Hvorvidt man som spiller kender dette interval er underordnet. Fordi beløbet kan være hvad som helst, er ikke det samme som det ligger mellem nul og uendeligt. Man skal altid passe på med uendeligheder. Martingale er et skole-eksempel på denne fejl.

Eks: Fem konvolutter med 100, 200, 400, 800 og 1600.
Der byttes ikke. Samlet indkomst = 100+200+400+800+1600=3100
Der byttes = 200+1,5*(200+400+800)+800=3100 ***
***Indtjeningen er dobbelt så stor i mellem konvolutterne da de indgår i dobbelt så mange 2-konvoluts kombinationer. Derfor 1,5 og ikke 1,25

Generelt hvis interval fra x1 til xn fås:

x1+x2...+xn = 2*x1+1,5*(x2+x3+...........................x(n-1))+0,5xn
eller
x1+x2...+xn = 2*x1+1,5*(2^(1)*x1+2^(2)*x1...2^(n-2)*x1)+0,5xn

Selv hvis intervallet ikke er homogent, vil man stadig ikke kunne lave en god eller dårlig beslutning

Tak for den gode forklaring suj73.
VH RaptorFinn

Spørgsmålet er vel om det er et enkeltstående tilfælde eller varians over tid.

Over tid er det ligeyldigt hvad du gør, for du vil i længden tjene 1.5* minimumsbeløb over tid om du bytter eller ej.

I det enkeltstående tilfælde er det +ev at bytte ligemeget hvad jævnfør ovenstående eksempler. du taber 50% men vinder 100% og det er derfor et godt sats.

Eftersom det ikke er hverdagskost at få udleveret konvolutter med penge er det obligatorisk at bytte sin konvolut.

Med hensyn til haren og skildpadden:

Det er en underlig hypotese som baserer sig på at haren også gradvist vil løbe langsommere og langsommere. Hvis haren løber 10 gange hurtigere end skildpadden, hvorfor skulle den så sætte farten ned bare fordi den er tættere på skildpadden. Haren har altså ikke en konstant fart, men skildpadden holder en konstant fart. Enten kan haren løbe hurtigt eller ej...

fredemann

Enkelttilfælde eller over tid er ligegyldigt. EV er neutral uanset hvad du gør.

Mht. haren og skildpadden: Som suj73 også skriver, så opstår paradokserne, når du drager uendelighed ind i regnestykkerne. Det kan ikke lade sig gøre.
Tag nu fraktal diskussionen - hvis du måler omkredsen af fx. Sjælland, så vil den være større, jo længere du går ned i detaljen. Hvor småt kan man måle? Og findes der altid noget, som er mindre (kan man altid blive ved at dele noget fysisk i 2?)? Kan omkredsen af Sjælland dermed være uendelig?

Er lidt sent inde i denne her tråd.

Men hvis du står i situationen og det er et enkeltstående tilfælde.

hvorfor er det så ligegyldigt hvad du gør? Du har 100kr og kan enten ende med 50kr (tab på 50kr) eller vinde 100kr.

Det er forkert at anskue situationen udfra y og 2y perspektivet. Det gælder kun hvis du ikke har åbnet nogen af kuverterne (eller hvad?). I tilfældet hvor du kender det ene beløb kan du jo ikke tabe mere end halvdelen, men doble gevinsten.

Med hensyn til haren og skildpadden ved jeg godt det er uendelighedsdelen der skaber paradokset. Men hvor lame er den hare ik?. Så overhal da....

Det du kan ende med, er en konstant. Dit problem er blot, at du ikke kender den. Fra dit synspunkt ser du den som en variabel, fordi du ikke ved om der står 50 eller 200. Men resultatet er givet på forhånd.

Se det fra spiludbyderens side. Han ved, hvad der står i nr. 2. Hans EV er præcis -1,5Y. Derfor må spillerens EV modsvarende være +1,5Y uanset hvilken beløbsstørrelse han kigger ned i og uanset om han bytter.

Fredemann, du forstår TYDELIGVIS ikke hvad paradokset i haren og skildpadden består i....

(Og nej haren løber ikke langsommere og langsommere, lol)

Paradokset består vel i at beløbene er faste før vi trækker den første kuvert.....Hvis beløbene er 100 og 50, har du jo ikke en EV på 125 ved at skifte, men derimod 50!

For at få EV=125 skal der i praksis være tre kuverter, og de to du kan vælge herefter skal være på 50% og 200% af den første.......

LOL - Nice bump med en forklaring som pludselig får alt til at stå lysende klart!

Kan godt forstå det tog en god måned, men den var værd at vente på...


Edit: Ok, da jeg skrev min kommentar stod der kun 2 linier. Nu er det bare vrøvl - læs tråden !

Næ, det er ikke rigtigt. Min gamle forelæser, Jørgen Hoffmann Jørgensen, deltog for noget tid siden i Viden Om på dr2. Han har senere svaret på spørgsmål fra seerne. Se side 13 i denne:

www.dr.dk/NR/rdonlyres/387EF335-F205-433E-812A-9514DB887FC9/505527/SvarfraJ%C3%B8rgenHoffmannJ%C3%B8rgensen.pdf

Jørgen Hoffmann skulle efter sigende være en af de dygtigste nulevende sandsynlighedsteoretikere, så hans konklusion burde lukke diskussionen Jeg husker desværre mest hans forelæsninger for diverse røverhistorier.

/Srul