Fordele 12 dele på 4 identiske plader, antal kombinationer?

Man skal fordele 12 brikker på 4 plader, altså tre brikker på hver.

Er det korrekt at antallet af kombinationer er 12*11*10 + 9*8*7 + 6*5*4 + 3*2*1 = 1.950 kombinationer ?

Jeg havde lavet en fejl - prøver igen senere :)

Majaline skrev:

Man skal fordele 12 brikker på 4 plader, altså tre brikker på hver.

 

Er det korrekt at antallet af kombinationer er 12*11*10 + 9*8*7 + 6*5*4 + 3*2*1 = 1.950 kombinationer ?

 

 

Det bliver vist  langt større tal.

Opklarende spørgsmål: Har rækkefølgen af brikkerne på den enkelte plade betydning ?

Medmindre andet er specificeret, så må det tolkes som om der er 12 brikker og 4*3=12 steder at placere dem. Så det må være 12! = 479,001,600.

hostrup skrev:

 

Det bliver vist  langt større tal.

Opklarende spørgsmål: Har rækkefølgen af brikkerne på den enkelte plade betydning ?

GuldsmedeN skrev:

Medmindre andet er specificeret, så må det tolkes som om der er 12 brikker og 4*3=12 steder at placere dem. Så det må være 12! = 479,001,600.

I får lige en uddybning:

Spørgsmålet er afledt af en opgave jeg har lavet til mine elever på en disponentuddannelse, og jeg kom til at tænke på hvor mange kombinationsmuligheder der er.

"Du arbejder som disponent for en virksomhed i Randers, der skal fordele tolv, stykker gods til tolv forskellige byer i Jylland. Hvert stykke gods vejer ti tons, og I har fire biler til rådighed, som hver kan læsse op til 30 tons.

Godset skal distribueres til følgende byer:
Silkeborg
Holstebro
Herning
Billund
Ebeltoft
Hobro
Skive
Skanderborg
Horsens
Fredericia
Skjern
Skive

Din opgave er at disponere godset optimalt på bilerne, så det kan transporteres effektivt og inden for de givne belastningsbegrænsninger, samt udregne omkostninger, og estimere en nødvendig indtægt for at transporterne giver overskud"

Min første indskydelse var, at den første bil var "fyldt op" med 12 muligheder på plads et, 11 på plads to, og 10 på plads tre. Derefter er der 9 muligheder * 8 muligheder * 7 muligheder tilbage til bil to, og så fremdeles. 

Men det er meget muligt I har ret :) 

12!/(3!*3!*3!)= 2.217.600 ?

Vrøvl:

12!/(3!*3!*3!*3!)= 369.600

chatGPT siger :

For at løse opgaven om fordeling af gods til forskellige byer med biler, skal vi tage højde for et par vigtige faktorer:

Godsets vægt og bilernes kapacitet: Hvert stykke gods vejer 10 tons, og hver bil kan læsse op til 30 tons. Det betyder, at hver bil kan transportere præcis 3 stykker gods, hvilket forenkler beregningen.

Kombinationsberegningen: Din tankegang om at anvende kombinationsberegninger er korrekt, men vi skal sikre os, at vi anvender den korrekt. Vi skal finde ud af, hvor mange måder vi kan fordele 12 stykker gods på 4 biler, hvor hver bil får 3 stykker gods.For den første bil er der 12 muligheder for det første stykke gods, 11 for det andet og 10 for det tredje. Men da rækkefølgen af godset i bilen ikke betyder noget, dividerer vi med 3! (3*2*1).For den anden bil er der derefter 9 muligheder for det første stykke gods, 8 for det andet og 7 for det tredje, og igen dividerer vi med 3!.Dette gentages for de resterende biler.

Opgavens kontekst: Da det handler om at disponere godset optimalt, skal der også tages højde for geografiske og logistiske overvejelser, såsom afstanden mellem byerne og ruterne, men disse aspekter er ikke inkluderet i den rene kombinationsberegning.Lad os beregne det samlede antal kombinationer igen med denne tilgang.Det samlede antal kombinationer for at fordele 12 stykker gods på 4 biler, hvor hver bil kan transportere 3 stykker gods, er 369.600.

Det er vigtigt at bemærke, at dette tal repræsenterer det rene antal logistiske kombinationer uden at tage hensyn til geografiske og effektivitetsmæssige overvejelser såsom afstanden mellem byerne og optimale ruter. For en realistisk planlægning af godstransport ville sådanne faktorer også spille en væsentlig rolle.​

ChatGPT antager der, at hver bil skal fyldes op inden man kan overveje at placere et stykke gods på en anden bil. Det er ikke givet nogle steder af Majaline. Hvis den antagelse skal holde har chatGPT ret, ellers er det stadig 12!

GuldsmedeN skrev:

ChatGPT antager der, at hver bil skal fyldes op inden man kan overveje at placere et stykke gods på en anden bil. Det er ikke givet nogle steder af Majaline. Hvis den antagelse skal holde har chatGPT ret, ellers er det stadig 12!

 Nej, for uanset hvilke tre stykker gods du har på hver vogn, vil du have 6 kombinationer der er ens, idet rækkefølgen ikke betyder noget.

12 stykker gods fordelt på 4 biler. 

Jeg går ud fra, at der ikke skelnes mellem bilerne. Dvs. at f.eks. 123-456-789-10.11.12 er samme løsning som 456-123-789-10.11.12. Osv.

I så fald får jeg resultatet 15.400.

Man kan f.eks. tage chatGPT og sige 12! / (3*2*1)^4 / (4*3*2*1)

eller regne (11*10/2) * (8*7/2) * (5*4/2)

Med chatGPT dividerer man med (3*2*1)^4 fordi rækkefølgen i hver bil er ligegyldig, og med (4*3*2*1) fordi rækkefølgen af biler er ligegyldig. 

I den anden løsning betragter man først gods1, hvorefter de to andre stykker gods i bilen kan vælges på (11*10/2) måder. Herefter betragter man et af de resterende stykker gods, hvorefter de to andre stykker kan vælges på (8*7/2) måder. Den næste bil giver (5*4/2) måder, og den sidste bil så er givet.

Pladerne ABCD Brikker 123..12

Ses disse som 'samme kombination'?

[ [1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11,12]]

[ [4,5,6],[1,2,3],[7,8,9],[10,11,12]]

hostrup skrev:

 

 Nej, for uanset hvilke tre stykker gods du har på hver vogn, vil du have 6 kombinationer der er ens, idet rækkefølgen ikke betyder noget.

Altså min antagelse er, at der er tre pladser på hver vogn. Hvis man har frit slag til at lægge gods nr 12 på en af de 12 pladser, og har frit slag til at lægge gods nr 11 på en af de 11 resterende pladser (osv). Så er det permutationer og så betyder rækkefølgen automatisk noget - du udfylder 12/12 pladser. Det er nok ikke sådan, Majaline tænker opgaven. Hvis majaline tænker den som, at én vogn først skal fyldes, så har chatGPT ret i posten ovenover.
Hvis man ser det som, at man først kan lægge et stykke gods på en af 4 vogne, og dernæst på en af 4 vogne, så får vi et tredje facit. Og så må alle mulighederne umiddelbart være gennemgået :D

CharGPT's svar:

godsfordeling på bilerDefault (GPT-3.5)

"Du arbejder som disponent for en virksomhed i Randers, der skal fordele tolv, stykker gods til tolv forskellige byer i Jylland. Hvert stykke gods vejer ti tons, og I har fire biler til rådighed, som hver kan læsse op til 30 tons.

Godset skal distribueres til følgende byer:

Silkeborg

Holstebro

Herning

Billund

Ebeltoft

Hobro

Skive

Skanderborg

Horsens

Fredericia

Skjern

Skive

Din opgave er at disponere godset optimalt på bilerne, så det kan transporteres effektivt og inden for de givne belastningsbegrænsninger, samt udregne omkostninger, og estimere en nødvendig indtægt for at transporterne giver overskud"

Min første indskydelse var, at den første bil var "fyldt op" med 12 muligheder på plads et, 11 på plads to, og 10 på plads tre. Derefter er der 9 muligheder * 8 muligheder * 7 muligheder tilbage til bil to, og så fremdeles. ChatGPTDet lyder som en logisk tilgang til opgaven. Du kan bruge en kombinatorisk tilgang kaldet "permutation uden gentagelse" for at beregne antallet af måder, du kan arrangere godset på bilerne. Når du har det optimale arrangement, kan du beregne de samlede omkostninger og estimere den nødvendige indtægt for at opnå overskud. Har du brug for hjælp til at udføre beregningerne, eller er der andet, jeg kan hjælpe dig med?

Giv metode og svarChatGPTMetode for permutation uden gentagelse:Antallet af måder at arrangere n elementer ud af r, hvor r er antallet af biler, er givet ved �(�,�)=�!(�−�)!P(n,r)=(n−r)!n!​, hvor ! repræsenterer fakultet (produktet af alle positive heltal op til det givne tal).For denne opgave, hvor du har 12 stykker gods og 4 biler, vil du beregne �(12,4)P(12,4).Svar:�(12,4)=12!(12−4)!=12!8!=12×11×10×94×3×2×1P(12,4)=(12−4)!12!​=8!12!​=4×3×2×112×11×10×9​Beregn dette udtryk for at få antallet af måder at arrangere godset på bilerne optimalt.Når du har det optimale arrangement, kan du beregne de samlede omkostninger og estimere den nødvendige indtægt for at opnå overskud baseret på virksomhedens transportomkostninger og eventuelle prisstrukturer.

Giv den komplette beregning ChatGPTSelvfølgelig, lad os gennemføre beregningen:�(12,4)=12!(12−4)!=12!8!=12×11×10×94×3×2×1P(12,4)=(12−4)!12!​=8!12!​=4×3×2×112×11×10×9​=95,04024=2495,040​=3,960=3,960Så der er 3,960 måder at arrangere de 12 stykker gods på de 4 biler. Nu kan du anvende dette optimale arrangement for at beregne de samlede omkostninger og estimere den nødvendige indtægt for at opnå overskud baseret på din virksomheds specifikke parametre.

Det giver ikke meget mening med formler i en copy/paste 😂

Hvis brikkerne nummereres, er en lastbil med 1,2,3 så identisk med en lastbil med 1,3,2? Altså skal der tages højde for den individuelle placering, sagt på anden måde kan hver brik placeres 3 eller 12 steder?

iflg. formuleringen virker placeringen på bilerne irrelevant.

Kommaet i formuleringen skal i øvrigt flyttes fra efter ‘tolv’ til efter ‘gods’. :)

Mit spørgsmål er ikke relevant for opgaven, men bare til min egen nysgerrighed, og for at forklare mine studerende lidt om hvor kompleks en opgave disponering/ruteplanlægning kan være. 

En bil der hedder Skanderborg - Horsens - Fredericia er ikke den samme som Skanderborg - Fredericia - Horsens, hvis det er det folk spørger om.

Så jeg tænker egentlig at 12! må være korrekt, da der er 12 unikke steder, derefter 11 osv. 

Jeg synes opgaven er langt sjovere (og mere kompleks), hvis du spørger til unikke kombinationer, hvor vi antager, at de 4 plader er ens (vi kan ikke se forskel).

Forstået på den måde, at placerer du brik 1, 2 og 3 på plade 1, så er det det samme som eksempelvis når del 3, 1 og 2 er placeret på plade 4.

Til gengæld kan jeg ikke lige umiddelbart løse den 😂

Majaline skrev:

Mit spørgsmål er ikke relevant for opgaven, men bare til min egen nysgerrighed, og for at forklare mine studerende lidt om hvor kompleks en opgave disponering/ruteplanlægning kan være. 

 

En bil der hedder Skanderborg - Horsens - Fredericia er ikke den samme som Skanderborg - Fredericia - Horsens, hvis det er det folk spørger om.

 Er bil 1 der kører Skanderborg Horsens Fredericia det samme som at bil 2 kører SHF ?

hostrup skrev:

 

 Er bil 1 der kører Skanderborg Horsens Fredericia det samme som at bil 2 kører SHF ?

hostrup skrev:

 

 Er bil 1 der kører Skanderborg Horsens Fredericia det samme som at bil 2 kører SHF ?

 Ja, det må det være, dog kan den samme tur ikke eksistere to gange i samme setting, da hver enkelt sending er unik.

rickrick skrev:

Jeg synes opgaven er langt sjovere (og mere kompleks), hvis du spørger til unikke kombinationer, hvor vi antager, at de 4 plader er ens (vi kan ikke se forskel).

 

Forstået på den måde, at placerer du brik 1, 2 og 3 på plade 1, så er det det samme som eksempelvis når del 3, 1 og 2 er placeret på plade 4.

Til gengæld kan jeg ikke lige umiddelbart løse den

 Vist den opgave, jeg i #10 troede var problemet.

Som sædvanlig med kombinatorik- og sandsynlighedsopgaver er det altafgørende, at problemformuleringen er knivskarp. Ellers taler man forbi hinanden.

Majaline skrev:

 

 Ja, det må det være, dog kan den samme tur ikke eksistere to gange i samme setting, da hver enkelt sending er unik.

 

 Så er det 12!/(3!^4*4!) = 12.500 

fejl 15400

Henry er spot on

Hostrup, din udregning giver 15.400 og ikke 12.500, men helt enig.

Det afhænger af hvilket scenarier man vurderer, ja.

Jeg hælder også til at Henrys løsning i #10 er den korrekte.

12!/3!/3!/3!/3!/4! = 15.400 forskellige fordelinger, hvis fragtbilernes nummer er underordnet.

ninjaskills skrev:

Hostrup, din udregning giver 15.400 og ikke 12.500, men helt enig.

 

Det afhænger af hvilket scenarier man vurderer, ja.

Jeg hælder også til at Henrys løsning i #10 er den korrekte.

12!/3!/3!/3!/3!/4! = 15.400 forskellige fordelinger, hvis fragtbilernes nummer er underordnet.

 My bad