Kan du statistik? Eksempel m. fodbold - Hvordan regnes den?

Godaften PN,

 

en bekendt bemærkede her til aften den lidt spøjse situation, at intet hold i den engelske championship står med 6 point efter to kampe, hvilket med 24 hold virker som lidt af et særtilfælde. - Eller er det?

Hvor (u)sandsynligt er det egentlig, at ikke et eneste hold af 24 formår at vinde de to første kampe, hvis man tæller fra før første runde? Hvordan ville du finde frem til en procentsats?

Vi er uenige om fremgangsmåden og dermed også løsningen, gad godt have flere tanker på.

For eksemplets skyld må man godt sætte styrkeforholdet som det samme i hver eneste kamp, og selv finde en retvisende procentsats. Vores største problem er hvordan man tager højde for krydset, samt hvordan pokker man tager højde for sandsynligheden for, at to hold der har vundet i runde 1 mødes i runde 2 (og dermed fjerner minimum 1 hold, muligvis 2).

Skyd løs, uanset indgangsvinkel. Også strøtanker :)

In before 50/50 i øvrigt.

Du finder sandsynligheden for hvert udfald af hver potentiel kamp (herunder hvem, der møder hvem med hvilken frekvens) og ganger dem sammen, tænker jeg :) 

Sauron92 skrev:

Du finder sandsynligheden for hvert udfald af hver potentiel kamp (herunder hvem, der møder hvem med hvilken frekvens) og ganger dem sammen, tænker jeg :) 

 

 

Puha, håbet det kunne gøres simplere, for dén model bliver som et gigantisk tælletræ, der skal udfyldes manuelt. Så vigtigt er det ikke, det var mere teorien bag en udregning. :)

 

Jeg er fint tilfreds med en fremgangsmåde hvor man sjusser med cv - hvis cv overhovedet er en faktor.

Jeg tror det bliver rigtig svært uden et obskurt stort tælletræ.

 

Runde 1, 12 kampe med 1/X/2 giver 3^12 = 531.441 kombinationer.

 

For hver af disse kombinationer skal I have styr på hvilke hold, der har hhv. 1/X/2 når I går videre til runde 2.

 

I runde 2 er der de samme 531.441 kombinationer.

 

Så umiddelbart har I 282.429.536.481 mulige kombinationer, dem kan man jo godt løbe igennem (med noget kode, ikke i hånden) og så tælle hver "lovlig" kombination.

 

Man kan også "sagtens" tildele nogle sandsynligheder til hvert udfald som man så kan gange på.

 

Jeg tænker I skal i gang med at skrive en lille program.

 

Jeg har desværre ikke noget godt bud på en god shortcut :-)

 

Edit: Et godt alternativ kunne være at simulere 10.000 tilfælde udfald af kampene i runde 1 og 2 og så tælle hvor mange af de kombinationer, der giver "ingen hold uden 2 sejre". Men igen er I nok ude i at skrive en lille program ... det skulle dog kunne gøres rimelig simpelt.

Jeg har måske alligevel et meget groft bud.

 

Hvis vi antager at alle udfald er lige sandsynlige i både runde 1 og 2, altså 1/3 for 1/X/2 i alle kampe.

 

I runde 1 vil vi så have: 8 hold, der har vundet, 8 hold, der har tabt og 8 hold, der har spillet uafgjort.

 

I runde 2 vil der så være to kombinationer af hver af nedenstående muligheder som alle har samme sandsynlighed (hvor jeg angiver, hvilket resultat de to hold, der mødes, opnåede i første runde):

 

VV: Her skal kampen ende uafgjort, altså 1/3 sandsynlighed

VU: Her må hold 1 ikke vinde, altså 2/3 sandsynlighed

VT: Her må hold 1 ikke vinde, altså 2/3 sandsynlighed

UU: Her er resultatet ligegyldigt

UT: Her er resultatet ligegyldigt

TT: Her er resultatet ligegyldigt

 

Så i dette forsimplede scenarie er sandsynligheden: 1/3 x 2/3 x 2/3 = 4/27 = 14,81%

rickrick skrev:

Jeg har måske alligevel et meget groft bud.

 

Hvis vi antager at alle udfald er lige sandsynlige i både runde 1 og 2, altså 1/3 for 1/X/2 i alle kampe.

 

I runde 1 vil vi så have: 8 hold, der har vundet, 8 hold, der har tabt og 8 hold, der har spillet uafgjort.

 

I runde 2 vil der så være to kombinationer af hver af nedenstående muligheder som alle har samme sandsynlighed (hvor jeg angiver, hvilket resultat de to hold, der mødes, opnåede i første runde):

 

VV: Her skal kampen ende uafgjort, altså 1/3 sandsynlighed

VU: Her må hold 1 ikke vinde, altså 2/3 sandsynlighed

VT: Her må hold 1 ikke vinde, altså 2/3 sandsynlighed

UU: Her er resultatet ligegyldigt

UT: Her er resultatet ligegyldigt

TT: Her er resultatet ligegyldigt

 

Så i dette forsimplede scenarie er sandsynligheden: 1/3 x 2/3 x 2/3 = 4/27 = 14,81%

 

Godt bud, men den holder nok ikke helt. 

Fordelt over de sidste 5 sæsoner ender i gennemsnit 27,6% af kampene i Championship med draw.

 

 

Jeg får helt hovedpine af at overveje det. 

rickrick skrev:

Jeg har måske alligevel et meget groft bud.

 

Hvis vi antager at alle udfald er lige sandsynlige i både runde 1 og 2, altså 1/3 for 1/X/2 i alle kampe.

 

I runde 1 vil vi så have: 8 hold, der har vundet, 8 hold, der har tabt og 8 hold, der har spillet uafgjort.

 

I runde 2 vil der så være to kombinationer af hver af nedenstående muligheder som alle har samme sandsynlighed (hvor jeg angiver, hvilket resultat de to hold, der mødes, opnåede i første runde):

 

VV: Her skal kampen ende uafgjort, altså 1/3 sandsynlighed

VU: Her må hold 1 ikke vinde, altså 2/3 sandsynlighed

VT: Her må hold 1 ikke vinde, altså 2/3 sandsynlighed

UU: Her er resultatet ligegyldigt

UT: Her er resultatet ligegyldigt

TT: Her er resultatet ligegyldigt

 

Så i dette forsimplede scenarie er sandsynligheden: 1/3 x 2/3 x 2/3 = 4/27 = 14,81%

 Sent nattetime, men husk at medregne at vi kun har 8 V'er med i runde 2. Så VV er mindre sandsynligt end VU eller VT.

 

Edit: noget sludder af en udregning jeg havde her.

 

Buub skrev:

 

Puha, håbet det kunne gøres simplere, for dén model bliver som et gigantisk tælletræ, der skal udfyldes manuelt. Så vigtigt er det ikke, det var mere teorien bag en udregning. :)

 

Jeg er fint tilfreds med en fremgangsmåde hvor man sjusser med cv - hvis cv overhovedet er en faktor.

  

2 min hurtig sjus uden at kigge på odds for kampene.

I post #7 får vi oplyst X er 27.6%. Så 72.4% af kampe i første runde ender med en sejr. 12 kampe x 0,724 = 8,688 hold med 3 point.

Hold som har vundet i første runde er mere nok bedre end gns. Så lad os give dem en gns. CV på 45-25-30. Dvs. 55% for nederlag i anden runde.

8 hold vundet første runde: 0.55*0.55*0.55*0.55*0.55*0.55*0.55*0.55 = 0.837%
9 hold vundet første runde = 0.46%

Så en sjusset CV for ingen hold med 6 point efter 2 runder kunne være 0.6%. Sker en gang på 166 år.

Gode bud og tanker, tak!

@wombart

Jeg brugte selv samme fremgangsmetode, dog med lidt andre procenter, og ramte 0.3 % eller omkring 1/300.

wombart skrev:

  

2 min hurtig sjus uden at kigge på odds for kampene.

I post #7 får vi oplyst X er 27.6%. Så 72.4% af kampe i første runde ender med en sejr. 12 kampe x 0,724 = 8,688 hold med 3 point.

Hold som har vundet i første runde er mere nok bedre end gns. Så lad os give dem en gns. CV på 45-25-30. Dvs. 55% for nederlag i anden runde.

8 hold vundet første runde: 0.55*0.55*0.55*0.55*0.55*0.55*0.55*0.55 = 0.837%
9 hold vundet første runde = 0.46%

Så en sjusset CV for ingen hold med 6 point efter 2 runder kunne være 0.6%. Sker en gang på 166 år.

 

 Du laver den antagelse, at de hold som vinder i første runde ikke møder hinanden i anden runde.

 

Mere simpel, men stadig fejlagtigt vil det være at kigge på hvad er sandsynlighed for VV for hvert enkelt hold. Desværre har udfaldene indflydelse på hinanden, så det er også forkert.

SanderM skrev:

 

 Du laver den antagelse, at de hold som vinder i første runde ikke møder hinanden i anden runde.

 

Mere simpel, men stadig fejlagtigt vil det være at kigge på hvad er sandsynlighed for VV for hvert enkelt hold. Desværre har udfaldene indflydelse på hinanden, så det er også forkert.

Meget enig.

En (også forkert) men måske bedre fremgangsmåde til at simplificere problemet kunne være for hver kamp i runde 2, at regne sandsynligheden for, at de to hold der mødes er enten:

VV, VU, VT, UU, UT eller TT

I alt 6x12 = 72 udfald.

For hver af de 12 kampe, specielt for VV, VU og VT findes nu de tilladte sandsynligheds vægtede udfald (for VV er det eksempelvis kun uafgjort).

Og så ganger vi ellers bare igennem. Det vil give et rimeligt bud.

Problemet med fremgangsmåden er, at udfaldene VV, VU osv. skaber en afhængighed til andre kampe. Derfor er princippet om uafhængighed ikke opfyldt og vi kan ikke bare regne de enkelte udfald og “gange sammen”.

<- forkert bud 

rickrick skrev:

 

Meget enig.

 

En (også forkert) men måske bedre fremgangsmåde til at simplificere problemet kunne være for hver kamp i runde 2, at regne sandsynligheden for, at de to hold der mødes er enten:

 

VV, VU, VT, UU, UT eller TT

 

I alt 6x12 = 72 udfald.

 

For hver af de 12 kampe, specielt for VV, VU og VT findes nu de tilladte sandsynligheds vægtede udfald (for VV er det eksempelvis kun uafgjort).

 

Og så ganger vi ellers bare igennem. Det vil give et rimeligt bud.

Problemet med fremgangsmåden er, at udfaldene VV, VU osv. skaber en afhængighed til andre kampe. Derfor er princippet om uafhængighed ikke opfyldt og vi kan ikke bare regne de enkelte udfald og “gange sammen”.

 

Uden kampprogram CV på kampen rammer vi aldrig noget præcist.

Jeg kender ikke stats for championship og kender dermed ikke hometeam advantage eller program planlægning. Dermed ved jeg heller ikke om det er tilfældigt om de har 2 hjemmekampe i træk. Men hvis alt er tilfældigt så gør det stort set ingen forskel om de møder hinanden.

Hvis nogle af de 8 hold møder hinanden indbyrdes er det en ca. chancevurdering på 43-27-30.

8 som ikke møder hinanden = 0.837%
6 møder ikke hinanden og 2 møder hinanden: 0.55*0.55*0.55*0.55*0.55*0.55 = 2,7% * 0,27 = 0,747%
4 møder ikke hinanden og 4 møder hinanden: 0.55*0.55*0.55*0.55 = 9,15% * 0,27 * 0,27 = 0,667%
2 møder ikke hinanden og 6 møder hinanden: 0,55*0,55 = 30% * 0,27 * 0,27 * 0,27 = 0,595%
8 Møder hinanden = 0,27 * 0,27 * 0,27 * 0,27 = 0,53%

Uden at gide lave matematikken så ender vi nok med et gns. på mellem 1 og 2 indbyrdes opgør og dermed et gns. på 0.7% i stedet for de 0.837% Og de 0.6% fra post #10 bliver så til 0.5%.

Det er ret kringlet, og som nævnt afhænger resultatet formentlig en del af kampprogrammet. Desuden kan man ikke umiddelbart tage højde for holdenes styrkeforskelle.

 

Mit beregningsbud er ca. 1,5%.

 

Antag at de 12 hjemmehold fra første runde alle spiller ude i anden runde, og modstanderne til de 12 hjemmehold fra første runde "forskydes cyklisk" (holdet der mødte H1 møder nu H2, holdet der mødte H2 møder nu H3 osv.).

 

Man kan opstille de 24 kampe på en liste på følgende måde.

 

Kamp 1. 1 mod 2. (Der vælges en tilfældig kamp fra første runde).

Kamp 2. 2 mod 3. (Hold 2 skal spille hjemme i anden runde, modstanderen kaldes hold 3).

Kamp 3. 3 mod 4. (Hold 3 spillede i første runde hjemme, modstanderen kaldes hold 4).

Kamp 4. 4 mod 5. (Hold 4 spiller i anden runde hjemme, modstanderen kaldes hold 5).

...

Kamp 22. 22 mod 23.

Kamp 23. 23 mod 24.

Kamp 24. 24 mod 1.

 

Herved får man en liste med 24 kamptegn 1X2. Opgaven omformuleres derved til, at der ikke må forekomme et 2-tal fulgt af et 1-tal noget sted i listen - heller ikke rundt om hjørnet, dvs. i kamp 24 og kamp 1.

 

Der er således 24 betingelser for nabokampene på listen, der alle skal være opfyldte - der må ikke være et 2-tal først og derefter et 1-tal.

 

Problemet er, at der ikke er tale om uafhængige betingelser. Det kan der dog korrigeres for. Når man ser på en af de 24 nabokampskombinationer, ved man, at nabokampskombinationen umiddelbart før ikke var et 2-tal fulgt af et 1-tal.

 

Jeg antager en chancefordeling på 41,1% for 1-tal, 25,2% for X, og 33,7% for 2-tal, svarende til fordelingen i 2020/2021.

 

Umiddelbart er sandsynligheden for ikke at få en 2-1 kombination 1 - 0.337*0.411 = 0.8615.

 

Men når man ser på et givent par af kampe (kamp n og kamp n+1) og ved, at kamp n-1 og kamp n ikke var en 2-1 kombination, stiger sandsynligheden for, at kamp n er et 2-tal. Sandsynligheden for at kamp n er et 2-tal kan opgøres til 33,7% / 0.8615 = 39,12%.

 

Nu er der taget hensyn til den manglende uafhængighed, og den ønskede sandsynlighed kan estimeres til:

(1 - 0.411*0.3912) ^24 = ca. 1,5%