Matematikhjælp

En cirkel er givet ved ligningen:
x^2+4x+y^2-6y-23=0

Denne cirkel har to tangenter med hældning ¾.

1) a. Bestem ligningen for hver af disse tangenter.

Hvad gør jeg? på forhånd tak :)

Planen skal være at udnytte, at en linje er tangent til en cirkel, hvis afstanden mellem linjen og centrum netop er lig cirklens radius.

Dvs.

1) Omskriv cirklens ligning til den form, hvoraf man umiddelbart kan se radius+centrum. Find disse.

2) tangenternes ligning er af formen y= 3/4x + b

3) find formlen for aftstand mellem punkt og linje. Indsæt heri cirklens centrum og tangenternes ligning (med det ukendte b) og sæt udtrykket lig cirklens radius.

4) løs ligningen, b er den eneste ubekendte, der bliver to løsninger, en b1 og b2 (som i fjernsynet).

EDIT: Jeg var meget langsom, og henry's måde er naturligvis bedre... Det er alt for lang tid siden, at jeg gik i skole :P

Hvis ikke du får andre bud, så start med at omforme til standardformlen:

(x-konstant)^2+(y-konstant)^2 = radius^2

(Nu kan jeg se, at det kun er opgave 1a, og det vil sikkert hjælpe dig i de andre spørgsmål om cirklen efterfølgende).

Herefter viser du, at en linie er en tangent ved at vise, at der er præcis et skæringspunkt mellem linien og cirklen.

-Så du indsætter liniens funktion i cirklens ligning.
-Udregner kvadraterne i de to-leddede størrelser (husker at to minusser giver plus).
- Finder diskriminanten. Giver den 0, så er der præcis et skæringspunkt og linien er en tangent.

Du får at vide, at linierne, du leder efter hedder y = 0.75x+konstant

I mangel af bedre forslag, så ville jeg bare prøve at indsætte med forskellige konstanter:

...
y = 0.75x-1
y = 0.75x+0
y = 0.75x+1
... osv

Hvis det er for tidskrævende, så husk at konstanterne i parantesen for cirklens ligning angiver centrum, og så kan du tegne den nogenlunde på et stykke papir, og have en ide om, hvor tangenterne ca ligger...

Alternativt kunne man også gøre:

1) Omskriv cirklens ligning til den form, hvoraf man umiddelbart kan se radius+centrum. Find disse.

2) Find ligningen for linien som går gennem centrum og som er vinkelret på tangenterne (hint: (-1/(3/4)))

3) find skæringspunkterne med cirklen, dvs. sæt liniens ligning ind i cirklens og løs. (2 løsninger)

4) nu har du et punkt og en hældning på dine tangenter og liniernes ligning kan findes.

Hurtig måde, hvor vi ikke gør brug af skæringspunkterne. Hvis disse skal bruges, brug KjeldeNs metode:
x^2+4x+y^2-6y-23=0

Kuglens standardformel findes:
(x+2)^2+(y-3)^2=6^2
r=6, centrum=(-2;3)

Linien gennem centrum med hældning 3/4:
y=3/4x+b<=>3=3/4*(-2)+b<=>
y=3/4x+4,5

De to efterspurgte tangenter har en afstand af 6 mellem sig og den ovennævnte linie. Den lodrette afstand mlm centrum og tangenterne er:
SQRT((3/4*6)^2+6^2)=7,5

Vi trækker 7,5 fra b for at få den nederste tangent og lægger 7,5 til b for at få den øverste:
Tangent1: y=3/4x+12
Tangent2: y=3/4x-3

Jamen selv tak da!
Altid en fornøjelse at bruge tid på at hjælpe folk, der tydeligvis værdsætter det...
Skulle det være en anden gang. Eller måske ikke.

hohoho...

Ja selv tak fra mig også