Hej PN
Jeg tænkte på, om der ikke var nogle af jer kloge hoveder, der gad hjælpe mig med min SRP. Den skal afleveres 8.40 Mandag. Jeg arbejder blandt andet med penduler, hvor jeg gerne skulle bevise formlen for svingningstiden:
T = 2 * pi * kvadratroden af (I/(m*a*g))
Jeg har pt udarbejdet:
Det fysiske pendul består af et ophængt legeme, som kan dreje om en vandret akse, som ikke går igennem massemidtpunktet. Når pendulet er i ligevægt, befinder massemidtpunktet sig lodret under aksen i afstanden a. Derved er det totale kraftmoment lig med nul, når pendulet er i ligevægt. Ved at flytte pendulet ud til en af siderne, forsøger tyngdekraftens moment at få pendulet tilbage i ligevægt. Vi definerer drejningsvinklen (J) i forhold til lodret som positiv, vil momentet M blive negativt, når vi flytter pendulet ud til højre, da det er modsatrettet vinklen J. Dette sker i overensstemmelse med enhedscirklen. På samme måde vil momentet blive positivt hvis vinklen J er negativ. Hvis vi anser tyngdekraftens arm for x, kan vi udlede at:
M = -m * g * x = -m * g * a * sinJ
Ved at slippe pendulet i en efter at have trukket det til en af siderne giver kraftmomentet pendulet en vinkelacceleration H.
Denne vinkelacceleration kan beregnes ved hjælp af impulsmomentsætningen, da kraftmomentet er lig med produktet af impulsmomentet og vinkelaccelerationen:
M = I * H = I * d^2 ϕ/dt^2
I denne formel indsættes den tidligere fundne formel for kraftmomentet:
-m * g * a * sinJ = I * d^2J/dt^2 hvilket er lig med -m * g * a * J/I = d^2J/dt^2
Ved kun at arbejde med små svingninger for pendulet er sinJ = J, og dermed kan vi skrive at:
-m * g * a * J/I = d^2J/dt^2
Dette er en anden ordens differentialligning, som kan løses i forhold til vinklen J, og dermed fås pendulets bevægelse som en funktion af tiden.
Desuden har jeg bevist anden ordens differentialligningen
y'' = -k^2*y
Jeg håber rigtig meget at nogle af jer gider hjælpe mig. Please!!!
SRP Fys Mat penduler og differentiallingniner
Jeg kan give en plan for at komme videre uden at jeg dog har kontrolleret, om det er rigtigt, hvad du har lavet indtil nu. Det er det sikkert.
1) Start med at konstatere, at
-m * g * a * J/I = d^2J/dt^2
er en differentialligning af typen
y'' = -k^2*y
hvor y blot svarer til J. J afhænger af t, så dem funktion, du skal have frem, er J(t).
Bemærk her, at både -k^2 og -mga/I er negative konstanter.
2) Find k ved at sammenligne de to differentialligninger. Det bliver noget kvadratrodsværk.
3) Brug den løsning, du har bevist, og opskriv J(t). Det bliver vel en sinusfunktion, eller hvad? Den arbitrærere konstant kan du bare sætte til 0, idet du antager, at vinklen er 0 til tiden 0.
4) Svingningstiden er en hel perioden.
Dvs, hvis du har noget a la:
J(t) = sin(ABC*t)
så er svingningstiden T fundet ved:
ABC*T = 2pi
isoler T.
Henry giver dig svaret her. Well done.
Jeg vil måske også tilføje at det er et stabilt ligevægtspunkt du har massen befinder sig under aksen. Der er jo også et ustabilt ligevægtpunkt direkte lodret over aksen.
Stabilt = En lille ændring vil forsøges rettet tilbage af systemet - dvs den svinger "ind på plads" igen
Ustabilt = En lille ændring vil forstørres og systemet vil højst sandsynligt ikke vende tilbage til samme stabile punkt (dog vil enkelte præcise startsbetingelser give at pendulet standser i toppen alligevel).